甲乙两人进行围棋比赛.约定每局胜者得1分.负者得0分.比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$p$.且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$．(Ⅰ)求p的值,(Ⅱ)设X表示比赛停止时

分析 （1）列出当甲连胜2局或者乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止的概率求出p．（2）得出随机变量的所有可能取值，得出各自的概率从而得出分布列

解答 解：（1）依题意，当甲连胜2局或者乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．∴${p}^{2}+（1-p）^{2}=\frac{5}{9}$．解得p=$\frac{2}{3}\\;\\;\\;或\\;p=\frac{1}{3}∵\\;p＞\frac{1}{2}∴\\;p=\frac{2}{3}$．（2）依题意知：X的所有可能值为2，4，6设每两局比赛为1轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$若该轮结束时比赛还将继续，则甲乙在该轮中必是各得一分此时该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有P（X=2）=$\frac{5}{9}$．P（X=4）=（1-$\frac{5}{9}$）$\frac{5}{9}$=$\frac{20}{81}$P（X=6）=1-$\frac{5}{9}$-$\frac{20}{81}$=$\frac{16}{81}$∴随机变量X的分布列为：则随机变量ξ的分布列为：2

X 2 4 6P $\frac{5}{9}$ $\frac{20}{81}$ $\frac{16}{81}$则EX=$2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+6×\frac{16}{81}=\frac{266}{81}$

点评 主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求解方法，属于中档题型，在高考中经常反复考查．